Вибір ознаки збіжності числових рядів. Числові ряди: визначення, властивості, ознаки збіжності, приклади, рішення Дослідити на збіжність числовий ряд

Визначення. Числовий ряд(1.1)називається позитивним, якщо всі його доданкиAn- Позитивні числа.Часткова сума Sn= а1+ а2 + …+ аN такого ряду за будь-якого значення Nтеж, звичайно, позитивна, причому зі збільшенням номера Nвона монотонно зростає. Отже, є лише дві можливості:

2) де S- Деяке позитивне число.

У першому випадку ряд розходиться, у другому сходиться. Яка з цих двох можливостей реалізується, залежить, очевидно, від поведінки доданків ряду при N® ∞. Якщо ці доданки прагнуть нуля, причому роблять це досить швидко, ряд буде сходитися. А якщо вони не прагнуть до нуля, або прагнуть до нього, але недостатньо швидко, ряд буде розходитися.

Наприклад, у гармонійного ряду (1.16) доданки хоч і зменшуються, прагнучи нуля, але роблять це досить повільно. Тому гармонійний ряд виявився розбіжним. А ось у позитивного ряду (1.6) доданки прагнуть до нуля набагато швидше, тому він виявився схожим.

Ще приклад. Ряд виду

(1.18)

Називається Узагальненим гармонійним рядом(При цьому буде звичайний гармонійний ряд). Якщо дослідити його на збіжність – розбіжність аналогічно до того, як досліджувався гармонійний ряд (1.16) (за допомогою малюнка, подібного до малюнку 7.1), то можна встановити (спробуйте це зробити самостійно), що узагальнений гармонійний ряд розходиться при (його сума ) і сходиться при (його сума S- Кінцеве позитивне число). І це зрозуміло: при доданок узагальненого гармонійного ряду зменшуються повільніше доданків гармонійного ряду. Оскільки гармонійний ряд розходиться (швидкість убування його доданків недостатня для збіжності), тим більше буде розходитися і узагальнений гармонійний ряд (1.18). А при складові ряду (1.18), очевидно, спадати швидше, ніж складові гармонійного ряду (1.16). І цієї зростання швидкості спадання виявляється достатньо для збіжності низки (1.18).

Можна ці міркування викласти суворіше, як так званого Ознака порівняння позитивних числових рядів.

Його суть у наступному. Нехай

(1.19)

(1.20)

Два довільні позитивні числові ряди. І хай для всіх N=1,2,… . Тобто (1.20) – ряд із більшими членами, ніж ряд (1.19). Тоді очевидно, що:

1) Якщо ряд з більшими членами сходиться, то й ряд із меншими членами сходиться.

2) Якщо ряд із меншими членами розходиться (його сума дорівнює +∞), то й ряд із більшими членами теж розходиться (його сума тим більше дорівнює +∞).

3) Якщо ряд із більшими членами сходиться (його сума дорівнює +∞), то про ряд із меншими членами нічого сказати не можна.

4) Якщо ряд із меншими членами сходиться (його сума – число), то про ряд із більшими членами нічого сказати не можна.

Зауваження 1.У формулюванні всіх чотирьох пунктів ознаки порівняння можна умова, за допомогою якої порівнюються ряди і яка повинна виконуватися для всіх N=1,2,3,…, замінити цього ж умова , справедливе задля всіх N, а лише з деякого номера N, тобто для N> NБо відкидання кінцевого числа членів ряду не впливає на його збіжність.

Примітка 2.Ознака порівняння позитивних числових рядів припускає узагальнення. А саме, якщо існує кінцева і відмінна від нуля межа

, (1.21)

Тобто якщо

(Bnеквівалентні Lanпри ), то позитивні числові ряди (1.19) та (1.20) сходяться або розходяться одночасно. Дане зауваження залишимо без підтвердження.

Приклад 5 . Ряд

(1.23)

Розходиться (його сума дорівнює +∞). Справді, порівнюючи цей ряд із гармонічним (1.16), доданки якого менші за доданки ряду (1.23) для всіх N>1, відразу приходимо цього висновку виходячи з пункту 2 ознаки порівняння. Його розбіжність випливає і з того, що це узагальнений гармонійний ряд (1.18) при .

Приклад 6. Ряд

(1.24)

Це позитивний ряд із меншим для всіх N>1 доданками, ніж ряд

(1.25)

Але ряд (1.25) є сумою нескінченної геометричної прогресії зі знаменником . Такий ряд, згідно (1.15), сходиться та має суму S=1. Але тоді сходиться менший ряд (1.24), причому його сума .

Приклад 7 . Ряд - позитивний числовий ряд, у якого доданки

при .

Але ряд розходиться у силу (1.17). Отже, відповідно до (1.22), розходиться і цей ряд із доданками An.

Ознака Даламбера . Ця ознака полягає в наступному. Нехай – позитивний числовий ряд. Знайдемо межу Qвідношення наступного члена ряду до попереднього:

(1.26)

Французький математик і механік 19-го століття Даламбер довів, що за Q<1 ряд Сходится; при Q>1 він розходиться; при Q=1 питання збіжності - розбіжності низки залишається відкритим. Доказ ознаки Даламбер опускаємо.

Приклад 8. Дослідити на збіжність - розбіжність позитивний числовий ряд.

. Застосуємо до цього ряду ознаку Даламбера. Для цього за формулою (1.26) обчислимо Q:

Оскільки , то цей ряд сходиться.

Інтегральна ознака Коші . Ця ознака полягає в наступному. Якщо члени Anпозитивного ряду монотонно зменшуються, цей ряд і невласний інтеграл сходяться або розходяться одночасно. Тут - безперервна монотонно спадна функція, що приймає при X = Nзначення An членів низки.

Перед початком роботи з цією темою раджу подивитися розділ із термінологією для числових рядів. Особливо варто звернути увагу до поняття загального члена ряду. Якщо у вас є сумніви щодо правильності вибору ознаки збіжності, раджу глянути тему "Вибір ознаки збіжності числових рядів" .

Необхідна ознака збіжностічислових рядів має просте формулювання: загальний член ряду, що сходить, прагне до нуля. Можна записати цю ознаку і більш формально:

Якщо ряд $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ сходиться, то $\lim_(n\to\infty)u_n=0$.

Часто в літературі замість словосполучення "необхідна ознака збіжності" пишуть "необхідну умову збіжності". Однак перейдемо до суті: що означає ця ознака? А означає він наступне: якщо $ \ lim_ (n \ to \ infty) u_n = 0 $, то ряд можесходитися. Якщо ж $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ (або межі просто не існує), то ряд $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ розходиться.

Варто звернути увагу, що рівність $ \ lim_ (n \ to \ infty) u_n = 0 $ зовсім не означає збіжності ряду. Ряд може як сходитися, і розходитися. А от якщо $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, то ряд гарантовано розходиться. Якщо ці нюанси вимагають детальних пояснень, прошу розкрити примітку.

Що означає словосполучення "необхідна умова"? показати\сховати

Пояснимо поняття необхідної умови з прикладу. Для покупки ручки студенту необхідномати 10 рублів. Це можна записати так: якщо студент купує ручку, то він має 10 рублів. Наявність десяти рублів - і є необхідна умова купівлі ручки.

Нехай це умова виконано, тобто. десятка студент має. Чи означає це, що він придбає ручку? Зовсім ні. Він може купити ручку, а може заощадити гроші на потім. Або купити щось інше. Або подарувати їх комусь, - варіантів маса :) Іншими словами, виконання необхідної умови купівлі ручки (тобто наявність грошей) зовсім не гарантує купівлю цієї ручки.

Так само і необхідна умова збіжності числового ряду $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ зовсім не гарантує збіжність цього ряду. Проста аналогія: якщо є гроші, студент може купити ручку, а може не купити. Якщо $\lim_(n\to\infty)u_n=0$, ряд може сходитися, так і розходитися.

Проте що станеться, якщо потрібна умова купівлі ручки не виконано, тобто. грошей немає? Тоді студент ручку точно не придбає. Те саме з рядами: якщо необхідну умову збіжності не виконано, тобто. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, то ряд точно буде розходитися.

Коротко кажучи: якщо необхідна умова виконана, то слідство може як статися, так і не відбутися. Однак, якщо необхідна умова не виконана, то слідство точно не відбудеться.

Для наочності наведу приклад двох рядів: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ і $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac( 1) (n ^ 2) $. Загальний член першого ряду $u_n=\frac(1)(n)$ і загальний член другого ряду $v_n=\frac(1)(n^2)$ прагнуть нуля, тобто.

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n)=0;\; \lim_(n\to\infty)v_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n^2)=0. $$

Однак гармонійний ряд $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ розходиться, а ряд $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1 )(n^2)$ сходиться. Виконання необхідної умови збіжності не гарантує збіжності низки.

Виходячи з необхідної умови збіжності ряду, можна сформулювати достатня ознака розбіжностічислового ряду:

Якщо $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, то ряд $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ розходиться.

Найчастіше у стандартних прикладах необхідний ознака збіжності перевіряється, якщо загальний член низки представлений дробом, чисельник і знаменник якої є багаточлени. Наприклад, $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ (див. приклад №1). Або ж може бути коріння від многочленів (див. приклад №2). Бувають приклади, які дещо вибиваються із цієї схеми, але для стандартних контрольних робіт це рідкість (див. приклади у другій частині цієї теми). Наголошую на головному: за допомогою необхідної ознаки не можна довести збіжність ряду. Цю ознаку використовують, коли треба довести, що ряд розходиться.

Приклад №1

Дослідити збіжність низки $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$.

Оскільки нижня межа підсумовування дорівнює 1, то загальний член ряду записаний під знаком суми: $ u_n = \ frac (3n ^ 2 + 2n-1) (5n ^ 2 +7) $. Знайдемо межу загального члена ряду:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)=\left|\frac(\infty) (\infty)\right|= \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n^2)(n^2)+\frac(2n)(n^2)-\frac(1)( n^2))(\frac(5n^2)(n^2)+\frac(7)(n^2))= \lim_(n\to\infty)\frac(3+\frac(2) (n)-\frac(1)(n^2))(5+\frac(7)(n^2))=\frac(3+0-0)(5+0)=\frac(3) (5). $$

"Межа відносини двох багаточленів". Оскільки межа загального члена низки не дорівнює нулю, тобто. $\lim_(n\to\infty)u_n=\frac(3)(5)\neq 0$, то необхідну ознаку збіжності не виконано. Отже, низка розходиться.

Рішення закінчено, проте, вважаю, у читача виникне цілком резонне питання: а як ми взагалі побачили, що потрібно перевірити виконання необхідної умови збіжності? Існує чимало ознак збіжності числових рядів, то чому ж взяли саме цей? Це питання зовсім не пусте. Але оскільки відповідь на нього, можливо, буде цікава не всім читачам, то я приховав її під примітку.

Чому ми почали застосовувати саме необхідну ознаку збіжності? показати\сховати

Якщо говорити нестрого, то питання збіжності цієї низки вирішується до формального дослідження. Я не стосуватимусь такої теми як порядок зростання, просто наведу деякі загальні міркування. Давайте подивимося на загальний член ряду $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ уважніше. Спочатку звернемося до чисельника. Число (-1), розташоване в чисельнику, можна відкинути відразу: якщо $n\to\infty$, то дане число буде зневажливо малим порівняно з іншими складовими.

Подивимося на рівні $n^2$ і $n$, що є в чисельнику. Питання: який елемент ($n^2$ або $n$) зростатиме швидше за інші?

Відповідь тут проста: найбільш швидко збільшуватиме свої значення саме $n^2$. Наприклад, коли $ n = 100 $, то $ n ^ 2 = 10 \; 000 $. І цей розрив між $n$ і $n^2$ буде дедалі більше. Тому всі доданки, крім тих, що містять $ n 2 $, ми подумки відкинемо. Після такого "відкидання" у чисельнику залишиться $3n^2$. А після проведення подібної процедури для знаменника там залишиться $5n^2$. І дріб $\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ тепер такий: $\frac(3n^2)(5n^2)=\frac(3)(5)$. Тобто. на нескінченності загальний член явно не прагнутиме до нуля. Залишилося лише показати це формально, що було зроблено вище.

Часто в записи загального члена ряду використовують такі елементи, як, наприклад, $\sin\alpha$ або $\arctg\alpha$ тощо. Слід пам'ятати, що значення подібних величин що неспроможні виходити деякі деякі числові кордону. Наприклад, хоч би яким було значення $\alpha$, значення $\sin\alpha$ залишиться в межах $-1≤\sin\alpha≤ 1$. Тобто, наприклад, ми можемо записати, що $-1≤\sin(n!e^n)≤ 1$. А тепер уявіть, що в записі загального члена ряду розташований вираз на кшталт $5n+\sin(n!e^n)$. Чи зіграє синус, який може "вагатися" лише від -1 до 1, хоч якусь значущу роль? Адже значення $n$ спрямовуються у нескінченність, а синус не зможе перевищити навіть одиницю! Тому при попередньому розгляді виразу $5n+sin(n!e^n)$ синус можна просто відкинути.

Або, наприклад, візьмемо арктангенс. Яким би не було значення аргументу $\alpha$, значення $\arctg\alpha$ задовольнятимуть нерівності $-\frac(\pi)(2)<\arctg\alpha<\frac{\pi}{2}$. Т.е., например, в выражении вроде $7n^3+\sqrt{9n+100}-6\arctg(5^n+587n^{258})$ можно сразу отбросить арктангенс. Да и $\sqrt{9n+100}$ тоже, оставив при этом лишь $7n^3$.

Щоб визначити, які елементи можна "відкидати", а які ні, потрібна невелика навичка. Найчастіше питання збіжності низки можна вирішити ще формального дослідження. А формальне дослідження у стандартних прикладах є лише підтвердженням інтуїтивно отриманого результату.

Відповідь: ряд розходиться.

Приклад №2

Дослідити ряд $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)$ на збіжність.

Так як нижня межа підсумовування дорівнює 1, то загальний член ряду записаний під знаком суми: $ u_n = \ frac (\ sqrt (4 n 7 + 5 n 3-4)) (9 n 2-n + 12) $. Знайдемо межу загального члена ряду:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)=\ left|\frac(\infty)(\infty)\right|= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(\frac(4n^7)(n^7)+\frac(5n^3) )(n^7)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9n^2)(n^(\frac(7)(3)))-\frac(n)(n^ (\frac(7)(3)))+\frac(12)(n^(\frac(7)(3))))= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4+ \frac(5)(n^4)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9)(n^\frac(1)(3))-\frac(1)(n^ \frac(4)(3))+\frac(12)(n^\frac(7)(3)))=+\infty. $$

Якщо метод вирішення цієї межі викликає питання, то раджу звернутися до теми "Межі з ірраціональностями. Третя частина" (приклад №7). Оскільки межа загального члена низки не дорівнює нулю, тобто. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, то необхідну ознаку збіжності не виконано. Отже, низка розходиться.

Дещо поговоримо з позиції інтуїтивних міркувань. У принципі, тут вірно все те саме, що було сказано у примітці до рішення прикладу №1. Якщо подумки "відкинути" всі "несуттєві" складові в чисельнику і знаменнику загального члена ряду, то дріб $\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)$ набуде вигляду : $\frac(\sqrt(4n^7))(9n^2)=\frac(n^2\sqrt(4n))(9n^2)=\frac(\sqrt(4n))(9)$ . Тобто. ще до формального дослідження стає зрозумілим, що з $n\to\infty$ загальний член низки до нуля прагнути стане. До нескінченності – стане, до нуля – ні. Тому залишається лише показати це суворо, що було зроблено вище.

Відповідь: ряд розходиться.

Приклад №3

Дослідити збіжність низки $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)$.

Оскільки нижня межа підсумовування дорівнює 1, то загальний член ряду записаний під знаком суми: $u_n=5^n\sin\frac(8)(3^n)$. Знайдемо межу загального члена ряду:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)=\lim_(n\to \infty)\frac(\sin\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=\left|\frac(0)(0)\right|=\left| \begin(aligned)&\frac(8)(3^n)\to 0;\\&\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)(3^n). \end(aligned)\right|=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=8\cdot\lim_ (n\to\infty)\left(\frac(5)(3)\right)^n=+infty. $$

Оскільки межа загального члена низки не дорівнює нулю, тобто. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, то необхідну ознаку збіжності не виконано. Отже, низка розходиться.

Кілька слів щодо тих перетворень, які були здійснені при обчисленні межі. Вираз $5^n$ було вміщено в чисельник у тому, щоб висловлювання і чисельнику, і знаменнику стали нескінченно малими. Тобто. при $n\to\infty$ маємо: $\sin\frac(8)(3^n)\to 0$ і $\frac(1)(5^n)\to 0$. А якщо ми маємо відношення нескінченно малих, то сміливо можемо застосовувати формули, вказані в документі "Еквівалентні нескінченно малі функції" (див. таблицю наприкінці документа). Відповідно до однієї з таких формул, якщо $x\to 0$, то $\sin x\sim x$. А у нас і є саме такий випадок: оскільки $\frac(8)(3^n)\to 0$, то $\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)( 3^n)$. Іншими словами, ми просто замінюємо вираз $\sin\frac(8)(3^n)$ виразом $\frac(8)(3^n)$.

Думаю, може виникнути питання, навіщо ж ми перетворювали вираз $5^n\sin\frac(8)(3^n)$ до виду дробу, - заміну ж можна було зробити і без такого перетворення. Відповідь тут така: заміну зробити можна, але ось чи правомірна вона буде? Теорема про еквівалентні нескінченно малі функції дає недвозначну вказівку, що подібні заміни можливі лише у виразах виду $\frac(\alpha(x))(\beta(x))$ (при цьому $\alpha(x)$ і $\beta (x)$ - нескінченно малі), розташованих під знаком межі. Ось ми і перетворили наш вираз до виду дробу, підігнавши його під вимоги теореми.

Відповідь: ряд розходиться.

Приклад №4

Дослідити збіжність низки $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3^n)(n^2)$.

Так як нижня межа підсумовування дорівнює 1, загальний член ряду записаний під знаком суми: $ u_n = \ frac (3 ^ n) (n ^ 2) $. Взагалі-то, питання зі збіжністю цього ряду легко вирішується за допомогою ознаки "Аламбера". Однак можна застосувати і необхідну ознаку збіжності.

Подивимося уважніше на загальний член ряду. У чисельнику розташований вираз $3^n$, який зі зростанням $n$ збільшується набагато швидше, ніж розташований у знаменнику $n^2$. Порівняйте самі: наприклад, якщо $n=10$, то $3^n=59049$, а $n^2=100$. І цей розрив стрімко збільшується із зростанням $n$.

Цілком логічно припустити, що й $n\to\infty$, то $u_n$ стане прагнути до нуля, тобто. необхідну умову збіжності не буде виконано. Залишилося лише перевірити цю настільки правдоподібну гіпотезу і обчислити $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3^n)(n^2)$. Проте перед обчисленням цієї межі знайдемо допоміжну межу функції $y=\frac(3^x)(x^2)$ при $x\to +\infty$, тобто. обчислимо $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)$. Навіщо ми це робимо: річ у тому, що у виразі $u_n=\frac(3^n)(n^2)$ параметр $n$ набуває лише натуральних значень ($n=1,2,3,\ldots$) а аргумент $x$ функції $y=\frac(3^x)(x^2)$ набуває дійсних значень. При знаходженні $\lim_(x\to+\infty)\frac(3^x)(x^2)$ ми можемо застосувати правило Лопіталя:

$$ \lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text(застосовуємо правило Лопіталя) |=\lim_(x\to +\infty)\frac(\left(3^x\right)")(\left(x^2\right)")=\lim_(x\to +\infty)\ frac(3^x\ln 3)(2x)=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x) =\ left|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text(застосовуємо правило Лопіталя)|=\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)\frac (\left(3^x\right)")(\left(x\right)")=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)\frac (3^x\ln 3)(1)=\frac(\ln^2 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)3^x=+\infty. $$

Оскільки $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=+\infty$, то $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to \infty)\frac(3^n)(n^2)=+\infty$. Оскільки $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, то необхідну умову збіжності низки не виконано, тобто. заданий ряд розходиться.

Відповідь: ряд розходиться.

Інші приклади рядів, збіжність яких перевіряється за допомогою необхідної ознаки збіжності, знаходяться у другій частині цієї теми.

Визначення числового ряду та його збіжності.

Необхідна ознака збіжності

Нехай – нескінченна послідовність чисел.

Визначення.Вираз

, (1)

або, що те ж саме, називається числовим рядом, А числа https://pandia.ru/text/79/302/images/image005_146.gif" width="53" – членами низки.Член із довільним номером називаєтьсяn-м, або спільним членом ряду.

Саме собою вираз (1) жодного певного числового сенсу немає, оскільки, обчислюючи суму, ми щоразу маємо справу лише з кінцевим числом доданків. Визначити зміст цього виразу найбільш природно в такий спосіб.

Нехай дано ряд (1).

Визначення.Сумаnперших членів ряду

називається n -й частковою сумою ряду. Утворимо послідовність часткових сум:

З необмеженим збільшенням числаnу сумі враховується дедалі більше членів ряду. Тому розумно дати таке визначення.

Визначення.Якщо існує кінцева межа послідовності часткових сум називається його називається його сумою.

Якщо послідовність 2) якщо вагається. В обох випадках говорять, що ряд суми не має.

приклад 1.Розглянемо ряд, складений із членів геометричної прогресії:

, (2)

де - називається першим членом прогресії, а часткова сума цього ряду при font-size:14.0pt">Звідси:

1) якщо , то

т. е. ряд геометричної прогресії сходиться та її сума .

Зокрема, якщо , ряд сходиться і його сума.

При https://pandia.ru/text/79/302/images/image026_42.gif" width="307" також сходиться і його сума.

2) якщо , то , Тобто ряд (2) розходиться.

3) якщо , то ряд (2) набуває вигляду font-size:14.0pt"> і, тобто ряд розходиться(при font-size:18.0pt">) .

4) якщо . Для цього ряду

https://pandia.ru/text/79/302/images/image038_28.gif" width="253" height="31 src=">,

т. е..gif" width="67" height="41"> не існує, отже, ряд також розходиться(При).

Обчислення суми ряду безпосередньо за визначенням дуже незручно через труднощі явного обчислення часткових сум і знаходження межі їх послідовності. Але, якщо встановлено, що ряд сходиться, його суму можна обчислити приблизно, тому що з визначення межі послідовності слід, що за досить великих. Тому при дослідженні рядів достатньо

1) знати прийоми, що дозволяють констатувати збіжність низки без знаходження його суми;

2) вміти визначитиfont-size:14.0pt">.gif" width="16 height=24" height="24"> з певною точністю.

Збіжність числових рядів встановлюється з допомогою теорем, які називаються ознаками збіжності.

Необхідна ознака збіжності

Якщо ряд сходиться, його спільний член прагне нулю, т. е. розходиться.

приклад 2.Довести ряд 0 style="border-collapse:collapse">

;

;

;

.

Рішення.

А) розходиться.

і тому ряд розходиться. При вирішенні використовувався другий чудовий

межа: (Докладніше див.).

В) font-size:14.0pt">, тобто послідовність

- Безкінечно

мала. Оскільки при font-size:14.0pt">~ (див. ), то ~ .

Враховуючи це, отримаємо:

отже, ряд розходиться.

Г) font-size:14.0pt">,

отже, ряд розходиться.

Умова є необхідним,але не достатнімумовою збіжності ряду: існує безліч рядів, для яких, але які тим не менш розходяться.

приклад 3.Дослідити збіжність ряду font-size:14.0pt"> Рішення.Зауважимо, що https://pandia.ru/text/79/302/images/image066_20.gif" width="119" height="59 src="> , Т. е. необхідну умову збіжності виконано. Часткова сума

left">

– раз

тому font-size:14.0pt">, а це означає, що ряд розходиться за визначенням.

Достатні ознаки збіжності знакопозитивних рядів

Нехай. Тоді рядfont-size:14.0pt"> Ознака порівняння

Нехай та – знакопозитивні ряди. Якщо всім виконується нерівність , то зі збіжності ряду випливає збіжність ряду , та якщо з розбіжності ряду width = "55"

Ця ознака залишається в силі, якщо нерівність, а лише починаючи з деякого номера . Його можна проінтерпретувати наступним чином: якщо більший ряд сходиться, то менший тим більше сходиться, якщо менший ряд розходиться, то більший також розходиться.

приклад 4.Дослідити збіжність ряду 0 style="margin-left:50.4pt;border-collapse:collapse">

;

Рішення.

А) Зауважимо, що для всіх . Ряд із спільним членом

сходиться за ознакою порівняння.

Б) Порівняємо ряд з рядом ..gif width = "91" height = "29 src = ">. розходиться, отже, цей ряд також розходиться.

Незважаючи на простоту формулювання ознаки порівняння, на практиці зручніша наступна теорема, що є його наслідком.

Гранична ознака порівняння

Нехай https://pandia.ru/text/79/302/images/image071_17.gif" width="53" height="60 src="> - знакопозитивні ряди. Якщо існує кінцевийі не рівний нулюмежа , то обидва ряди і

одночасно сходяться або одночасно розходяться.

Як ряд, що використовується для порівняння з даними, часто вибирають ряд видів . Такий ряд називається поряд Діріхле. У прикладах 3 і 4 було показано, що ряд Діріхле з і розходиться. Можна поки-

зати, що ряд font-size:14.0pt"> .

Якщо , то ряд називається гармонійним. Гармонійний ряд розходиться.

Приклад 5.Дослідити на збіжність рядза допомогою граничної ознаки порівняння, якщо

;

;

;

Рішення.а) Так як при досить великих http://www.pandia.ru/text/79/302/images/image101_9.gif"

~ , то ~ font-size:14.0pt">порівняння з цим гармонійний ряд font-size:14.0pt">, тобто .

Оскільки межа кінцева і відмінна від нуля і гармонійний ряд розходиться, то розходиться і даний ряд.

Б) При досить великих width="111" width="119" height="31 src=">.gif" width="132" height="64 src="> – загальний член ряду, з яким будемо порівнювати даний:

Ряд сходиться ( ряд Діріхле з font-size:16.0pt">)тому цей ряд також сходиться.

в) тому нескінченно малу font-size:14.0pt">можна

замінити на еквівалентну їй за величину(https://pandia.ru/text/79/302/images/image058_20.gif" width="13" height="21 src="> при font-size: 20.0pt">). ;

;

;

г)

;

.

1

Визначення 1.1. Числовим поруч із загальним членом називають послідовність чисел сполучених знаком додавання, тобто вираз виду:

Такий ряд записують також у вигляді

приклад 1.1. Якщо ряд має вигляд:

Іноді під час запису низки виписують лише кілька перших членів. Це роблять лише тоді, коли закономірність, характерна для членів низки, легко вбачається. Строго кажучи, такий спосіб завдання ряду не є математично коректним, оскільки отримання формули загального члена з кількох перших членів ряду - завдання, що не має однозначного рішення.

приклад 1.2. Напишемо одну з можливих формул для загального члена ряду, знаючи його перші 4 члени:

Рішення. Розглянемо спочатку послідовність чисельників 2, 5, 8, 11. Вони утворюють арифметичну прогресію, перший член якої дорівнює 2, а різниця дорівнює 3. Це дозволяє як загальний вираз для чисельника взяти формулу загального члена арифметичної прогресії: Знаменники 2, 6, 18, 54 утворюють геометричну прогресію з

першим членом 2 і знаменником 3. Як їх загального виразу можна взяти формулу загального члена геометричної прогресії Отже, загальний член ряду матиме такий вигляд:

Слід зазначити, що як спільний член можна було б прийняти і складніший вираз

ВСТУП

Методичний посібник призначений для викладачів математики в технікумах, а також студентів другого курсу, всіх спеціальностей.

У цій роботі викладаються основні поняття теорії рядів. Теоретичний матеріал відповідає вимогам Державного освітнього стандарту середньої професійної освіти (Міністерство освіти Російської Федерації. М., 2002р.).

Виклад теоретичного матеріалу по всій темі супроводжується розглядом великої кількості прикладів і завдань, ведеться доступною, по-можливості суворою мовою. Наприкінці посібника наведено приклади та завдання, які студенти можуть виконувати у режимі самоконтролю.

Посібник призначений для студентів заочної та денної форм навчання.

Враховуючи рівень підготовки учнів технікуму, а також вкрай обмежену кількість годин (12 годин + 4 ф.), що відводиться програмою для проходження вищої математики в технікумах, суворі висновки, що становлять великі труднощі для засвоєння, опущені, обмежуючись розглядом прикладів.

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ

Розв'язання задачі, представленої в математичних термінах, наприклад, у вигляді комбінації різних функцій, їх похідних та інтегралів, потрібно вміти "довести до числа", яке найчастіше і є остаточною відповіддю. І тому у різних розділах математики вироблені різні методи.

Розділ математики, що дозволяє вирішити будь-яке коректно поставлене завдання з достатньою для практичного використання точністю, називається теорією рядів.

Навіть якщо деякі тонкі поняття математичного аналізу з'явилися поза у зв'язку з теорією рядів, вони негайно застосовувалися до рядів, які були як інструментом для випробування значимості цих понять. Таке становище зберігається і зараз.

Вираз виду

де;;;…;;… - члени ряду; - n-ийабо загальний член ряду, називається нескінченним рядом (рядом).

Якщо члени ряду:

I. Числовий ряд

1.1. Основні поняття числового ряду.

Числовим рядом називається сума виду

, (1.1)

де ,,,…,,…, звані членами низки, утворюють нескінченну послідовність; членназивається загальним членом ряду.

складені з перших членів низки (1.1), називаються частковими сумами цього ряду.

Кожному ряду можна порівняти послідовність часткових сум .

Якщо при нескінченному зростанні номера nчасткова сума ряду прагне межі, то ряд називається схожим, а число - сумою ряду, що сходить, тобто.

Цей запис рівносильний запису

.

Якщо часткова сума ряду (1.1) за необмеженого зростання nне має кінцевої межі (прагне або ), то такий ряд називається розбіжним .

Якщо ряд схожий , то значення при досить великому n є наближеним виразом суми ряду S.

Різниця називається залишком низки. Якщо ряд сходиться, то його залишок прагне нуля, тобто, і навпаки, якщо залишок прагне нуля, то ряд сходиться.

1.2. Приклади числових рядів.

Приклад 1. Ряд виду

(1.2)

називається геометричним .

Геометричний ряд утворений із членів геометричної прогресії.

Відомо, що сума її перших nчленів. Очевидно: це n-часткова сума ряду (1.2).

Можливі випадки:

Ряд (1.2) набуває вигляду:

,ряд розходиться;

Ряд (1.2) набуває вигляду:

Немає межі, ряд розходиться.

- Кінцеве число, ряд сходиться.

- Ряд розходиться.

Отже, даний ряд сходить при і розходиться при .

Приклад 2. Ряд виду

(1.3)

називається гармонійним .

Запишемо часткову суму цього ряду:

Сума більша за суму, подану наступним чином:

або .

Якщо то , або .

Отже, якщо , то , тобто. гармонійний ряд розходиться.

Приклад 3. Ряд виду

(1.4)

називається узагальненим гармонійним .

Якщо , то цей ряд звертається до гармонійного ряду, який є розбіжним.

Якщо члени даного ряду більше відповідних членів гармонійного ряду і, отже, він розходиться. При маємо геометричний ряд, в якому ; він є схожим.

Отже, узагальнений гармонійний ряд сходить при і розходиться при .

1.3. Необхідні та достатні ознаки збіжності.

Необхідна ознака збіжності низки.

Ряд може сходитися лише за умови, що його спільний член при необмеженому збільшенні номера прагне нулю: .

Якщо , то ряд розходиться – це достатня ознака розбіжності низки.

Достатні ознаки збіжності з позитивними членами.

Ознака порівняння рядів із позитивними членами.

Досліджуваний ряд сходиться, якщо його члени не перевищують відповідних членів іншого, що свідомо сходить ряду; досліджуваний ряд розходиться, якщо його члени перевершують відповідні члени іншого, свідомо розбіжного ряду.

Ознака Даламбер.

Якщо для поряд з позитивними членами

виконується умова , то ряд сходить при і розходиться при .

Ознака Даламбера не дає відповіді, якщо . І тут дослідження низки застосовуються інші прийоми.

Вправи.

Записати ряд за його заданим спільним членом:

Вважаючи ,,,…, маємо нескінченну послідовність чисел:

Склавши його члени, отримаємо ряд

.

Вчиняючи так само, отримаємо ряд

.

Надаючи значення 1,2,3, ... і враховуючи, що,,, ..., отримаємо ряд

.

Знайти n-ий член ряду за його даними першим членам:

Знаменники членів низки, починаючи з першого, є парними числами; отже, n-ий член ряду має вигляд.

Чисельники членів ряду утворюють натуральний ряд чисел, а відповідні їм знаменники – натуральний ряд чисел, а відповідні їм знаменники – натуральний ряд чисел, починаючи з 3. Знаки чергуються за законом чи законом. Значить, n-й член ряду має вигляд. або .

Дослідити збіжність ряду, застосовуючи необхідну ознаку збіжності та ознаку порівняння:

;

.

Знаходимо .

Необхідна ознака збіжності ряду виконується, але для вирішення питання про збіжність потрібно застосувати одну з достатніх ознак збіжності. Порівняємо цей ряд з геометричним рядом

,

який сходиться, оскільки.

Порівнюючи члени даного ряду, починаючи з другого, з відповідними членами геометричного ряду, отримаємо нерівності

тобто. члени цього ряду, починаючи з другого, відповідно менше членів геометричного ряду, звідки випливає, що цей ряд сходиться.

.

Тут виконується достатня ознака розбіжності низки; отже, ряд розходиться.

Знаходимо .

Необхідна ознака збіжності ряду виконується. Порівняємо цей ряд із узагальненим гармонічним рядом

,

який сходиться, оскільки, отже, сходиться і цей ряд.

Дослідити збіжність ряду, використовуючи ознаку Даламбер:

;

.

Підставивши до спільного члена ряду замість nчисло n+ 1, отримаємо. Знайдемо межу відношення -го члена до n-му члену при:

Отже, цей ряд сходиться.

Отже, цей ряд розходиться.

Тобто. ряд розходиться.

ІІ. Знакозмінний ряд

2.1 Поняття знакозмінного ряду.

Числовий ряд

називається знакозмінним , якщо серед його членів є як позитивні, і негативні числа.

Числовий ряд називається знакочередним , якщо будь-які два члени, що стоять поруч, мають протилежні знаки.

де для всіх (тобто ряд, позитивні та негативні члени якого йдуть один за одним по черзі). Наприклад,

;

;

.

Для знакочередових рядів має місце достатня ознака збіжності (встановлений в 1714 р. Лейбніцем у листі до І. Бернуллі).

2.2 Ознака Лейбніца. Абсолютна та умовна збіжність ряду.

Теорема (Ознака Лейбніца).

Знак черговий ряд сходиться, якщо:

Послідовність абсолютних величин членів низки монотонно зменшується, тобто. ;

Загальний член низки прагне нулю:.

При цьому сума S ряду задовольняє нерівності

Зауваження.

Дослідження ряду виду, що чергується.

(з негативним першим членом) зводиться шляхом множення всіх його членів на дослідження ряду .

Ряди, для яких виконуються умови теореми Лейбниця, називаються лейбницькими (або лавами Лейбниця).

Співвідношення дозволяє отримати просту та зручну оцінку помилки, яку ми припускаємося, замінюючи суму Sданого ряду його частковою сумою.

Відкинутий ряд (залишок) є також рядом, що знак чергується. , сума якого за модулем менше першого члена цього ряду, тобто. Тому помилка менше модуля першого з відкинутих членів.

приклад. Обчислити приблизно суму ряду.

Рішення: цей ряд Лейбніцевського типу. Він сходиться. Можна записати:

.

Взявши п'ятьох членів, тобто. замінна

Зробимо помилку, меншу,

чим . Отже.

Для знакозмінних рядів має місце наступна загальна достатня ознака збіжності.

Теорема. Нехай дано знакозмінний ряд

Якщо сходиться ряд

складений із модулів членів даного ряду, то сходиться і сам знакозмінний ряд.

Ознака збіжності Лейбниця для рядів, що знак чергою, служить достатньою ознакою збіжності знакочередующихся рядів.

Знакозмінний ряд називається абсолютно схожим , якщо сходиться ряд, складений абсолютних величин його членів, тобто. всякий абсолютно схожий ряд є схожим.

Якщо знакозмінний ряд сходиться, а складений з абсолютних величин його членів ряд розходиться, то цей ряд називається умовно (Неабсолютно) схожим.

2.3. Вправи.

Дослідити на збіжність (абсолютну або умовну) ряд, що знак черги:

і

Отже, згідно з ознакою Лейбниця, ряд сходиться. З'ясуємо, чи сходиться цей ряд абсолютно чи умовно.

Ряд , Складений з абсолютних величин даного ряду, є гармонійним рядом, який, розходиться. Тому цей ряд сходиться умовно.

Члени даного ряду за абсолютною величиною монотонно зменшуються:

, але

.

Ряд розходиться, оскільки ознака Лейбніца не виконується.

Використовуючи ознаку Лейбніца, отримаємо

;,

тобто. ряд сходиться.

.

Це геометричний ряд виду, де сходиться. Тому цей ряд сходиться абсолютно.

Використовуючи ознаку Лейбніца, маємо

;

, тобто. ряд сходиться.

Розглянемо ряд, складений з абсолютних величин членів цього ряду:

, або

.

Це узагальнений гармонійний ряд, який розходиться, оскільки. Отже, цей ряд сходиться умовно.

ІІІ. Функціональний ряд

3.1. Концепція функціонального ряду.

Ряд, членами якого є функції від , називається функціональним :

Надаючи певного значення, отримаємо числовий ряд

який може бути як схожим, так і таким, що розходиться.

Якщо отриманий числовий ряд сходиться, то точка називається точкою збіжності функціонального ряду; якщо ряд розходиться – точкою розбіжності функціонального ряду.

Сукупність числових значень аргументу , у яких функціональний ряд сходиться, називається його областю збіжності .

В області збіжності функціонального ряду його сума є деякою функцією від:.

Визначається вона у сфері збіжності рівністю

, де

Часткова сума низки.

приклад. Знайти область збіжності ряду.

Рішення. Цей ряд є поруч геометричної прогресії зі знаменником. Отже, цей ряд сходиться за , тобто. при всіх ; сума ряду дорівнює;

, за .

3.2. Ступінні ряди.

Ступіньним рядом називається ряд виду

,

де числа називаються коефіцієнтами ряду а член - загальним членом ряду.

Області збіжності статечного ряду називають безліч всіх значень , при яких даний ряд сходиться.

Число називається радіусом збіжності степеневого ряду, якщо при ряд сходиться і до того ж абсолютно, а при ряд розходиться.

Радіус збіжності знайдемо, використовуючи ознаку Даламбер:

(не залежить від),

тобто. якщо статечний ряд сходиться за будь-яких, що задовольняють цій умові і розходиться при .

Звідси випливає, що якщо існує межа

,

то радіус збіжності рядавенний цій межі і статечний ряд сходиться при , тобто. у проміжку, який називається проміжком (інтервалом) збіжності.

Якщо, то статечний ряд сходиться в єдиній точці.

На кінцях проміжку ряд може сходитися (абсолютно чи умовно), але може й розходитися.

Збіжність статечного ряду при і досліджується за допомогою будь-якої з ознак збіжності.

3.3. Вправи.

Знайти область збіжності ряду:

Рішення. Знайдемо радіус збіжності цього ряду:

.

Отже, цей ряд абсолютно сходить на всій числовій осі.

Рішення. Скористаємося ознакою Даламбер. Для цього ряду маємо:

.

Ряд абсолютно сходиться, якщо або . Досліджуємо поведінку низки кінцях інтервалу збіжності.

При маємо ряд

При маємо ряд - це Лейбнітевський ряд, що теж сходиться. Отже, областю збіжності вихідного ряду є відрізок.

Рішення. Знайдемо радіус збіжності ряду:

Отже, ряд сходиться, тобто. при.

Приймаємо ряд , що сходиться за ознакою Лейбніца

Приймаємо розбіжний ряд

.

Отже, областю збіжності вихідного ряду є проміжок.

IV. Розкладання елементарних функцій до ряду Маклорена.

Для додатків важливо вміти цю функцію розкладати у статечний ряд, тобто. функцію представляти як суми статечного ряду.

Поряд Тейлора для функції називається статечним рядом виду

Якщо , то отримаємо окремий випадок ряду Тейлора

який називається поруч Маклорена .

Ступіньовий ряд усередині його проміжку збіжності можна почленно диференціювати і інтегрувати скільки завгодно разів, причому отримані ряди мають той же проміжок збіжності, що і вихідний ряд.

Два статечних ряди можна почленно складати і множити за правилами складання та множення багаточленів. При цьому проміжок збіжності одержаного нового ряду збігається із загальною частиною проміжків збіжності вихідних рядів.

Для розкладання функції до ряду Маклорена необхідно:

Обчислити значення функції та її послідовних похідних у точці , тобто.,,,…,;

Скласти ряд Маклорена, підставивши значення функції та її послідовних похідних формулу ряду Маклорена;

Знайти проміжок збіжності отриманого ряду за формулою

, .

Приклад 1. Розкласти до ряду Маклорена функцію.

Рішення. Так як , то, замінюючи на розкладанні , отримаємо:

Приклад 2. Виписати ряд функцій Маклорена .

Рішення. Оскільки , то скориставшись формулою , у якій замінимо на , отримаємо:

,

Приклад 3. Розкласти до ряду Маклорена функцію.

Рішення. Скористаємося формулою. Так як

, то замінитинабудемо:

, або

де, тобто. .

V. Практичні завдання самоконтролю студентів.

За допомогою ознаки порівняння рядів встановити збіжність

сходиться умовно;

сходиться умовно;

сходиться абсолютно.

;

;

VII. Історична довідка.

Вирішення багатьох завдань зводиться до обчислення значень функцій та інтегралів або до вирішення диференціальних рівнянь, що містять похідні чи диференціали невідомих функцій.

Однак точне виконання зазначених математичних операцій у багатьох випадках виявляється дуже скрутним або неможливим. У цих випадках можна отримати наближене вирішення багатьох завдань з будь-якою бажаною точністю за допомогою рядів.

Ряди є простим і досконалим інструментом математичного аналізу для наближеного обчислення функцій, інтегралів і рішень диференціальних рівнянь.

І функціональним рядом, що стоїть праворуч.

Для того, щоб замість знака “” можна було поставити знак рівності, необхідно провести деякі додаткові міркування, пов'язані саме з нескінченністю числа доданків у правій частині рівності, що стосуються області збіжності ряду.

При формула Тейлора набуває вигляду, в якому називається формулою Маклорена:

Колін Маклорен (1698 – 1746), учень Ньютона, у роботі “Трактат про флюксиях” (1742) встановив, що статечний ряд, що виражає аналітичну функцію, - єдиний, і це буде ряд Тейлора, породжений такою функцією. У формулі бінома Ньютона коефіцієнти при ступенях є значення , де .

Отже, ряди з'явилися торік у XVIII в. як спосіб уявлення функцій, що допускають нескінченне диференціювання. Однак функція, що представляється поруч, не називалася його сумою, і взагалі в той час не було ще визначено, що таке сума числового чи функціонального ряду були лише спроби ввести це поняття.

Наприклад, Л. Ейлер (1707-1783), виписавши для функції відповідний їй статечний ряд, надавав змінної конкретного значення. Виходив числовий ряд. Сумою цього ряду Ейлер вважав значення вихідної функції в точці. Але це не завжди правильно.

Про те, що ряд, що розходиться, не має суми, вчені почали здогадуватися тільки в XIX ст., хоча в XVIII ст. багато, і Л. Ейлер, багато працювали над поняттями збіжності і розбіжності. Ейлер називав ряд схожим, якщо його спільний член прагне нуля у разі зростання .

Теоретично розбіжних рядів Ейлер отримав чимало істотних результатів, проте ці результати довго не знаходили застосування. Ще 1826г. Н.Г. Абель (1802 - 1829) називав розбіжності ряди "диявольським вигадуванням". Результати Ейлера знайшли обґрунтування лише наприкінці ХІХ ст.

У формуванні поняття суми ряду, що сходить, велику роль зіграв французький вчений О.Л. Коші (1789 – 1857); він зробив надзвичайно багато у теорії рядів, а й теорії меж, у створенні самого поняття межі. У 1826р. Коші заявив, що ряд, що розходиться, не має суми.

У 1768р. французький математик та філософ Ж.Л. Д'Аламбер досліджував ставлення наступного члена до попереднього в біноміальному ряді і показав, що якщо це відношення по модулю менше одиниці, то ряд сходиться. Коші у 1821р. довів теорему, що викладає у загальному вигляді ознаку збіжності знакопозитивних рядів, які тепер називають ознакою Д'Аламбера.

Для дослідження збіжності знаків рядів, що чергуються, використовується ознака Лейбніца.

Г.В. Лейбніц (1646 - 1716), великий німецький математик і філософ, поряд з І. Ньютон є основоположником диференціального та інтегрального обчислення.

Список літератури:

Основна:

1. Богомолов Н.В., Практичні заняття з математики. М., "Вища школа", 1990 - 495 с.;
2. Тарасов Н.П., курс вищої математики для технікумів. М., "Наука", 1971 - 448 с.;
3. Зайцев І.Л., Курс вищої математики для технікумів. М., державне видавництво технікумів - теоретичної літератури, 1957 - 339 с.;
4. Письмовий Д.Т., Курс лекцій з вищої математики. М., "Айріс Прес", 2005, частина 2 - 256 с.;
5. Вигодський М.Я., Довідник із вищої математики. М., "Наука", 1975 - 872 с.;

Додаткова:

1. Гусак А.А., Вища математика. У 2-х т., Т.2: Навчальний посібник для студентів вишів. Мос., "ТетраСистемс", 1988 - 448 с.;
2. Григулецький В.Г., Лук'янова І.В., Петуніна І.А., Математика для студентів економічних спеціальностей. Частина 2. Краснодар, 2002 - 348 с.;
3. Григулецький В.Г. та ін. Задачник-практикум з математики. Краснодар. КДАУ, 2003 – 170 с.;
4. Григулецький В.Г., Степанцова К.Г., Гетьман В.М., Завдання та вправи для студентів обліково-фінансового факультету. Краснодар. 2001 - 173 с.;
5. Григулецький В.Г., Ященко З.В., Вища математика. Краснодар, 1998 - 186 с.;
6. Малихін В.І., Математика економіки. М., "Інфра-М", 1999 - 356с.